ノンパラメトリック検定である，マンホイットニーのU検定（ウィルコクソンの順位和検定）の大標本の場合について解説します．
マンホイットニーのU検定とは
マンホイットニーのU検定とは，対応のない2群の差の検定（対応のないｔ検定）のノンパラメトリック版です．順序尺度以上のデータに対して用いることができます．
ウィルコクソンの順位和検定と呼ばれることもありますが，手法自体は同じです．
マンホイットニーのU検定の考え方は以下になります．
マンホイットニーのU検定では，2群のデータを順番に並べて順位を比較します．片方の群の値以下の，もう片方の値の個数を合計した値がU値になります．
大標本の場合はU値が近似的に正規分布に従うので，U値を標準化してｚ検定を行います．大標本とは片方のサンプルサイズが21以上，もしくは両群が8以上の場合です．
標準化したU値からp値を求め，有意水準より小さい場合は2群に差があると判定します．
マンホイットニーのU検定の手順
マンホイットニーのU検定は以下の手順で行います．
① 仮説の設定
帰無仮説は「2群の母集団に差がない」，対立仮説は「2群の母集団に差がある」として設定します．
② 有意水準の決定
マンホイットニーのU検定では有意水準α＝0.05，もしく0.01とします．
③ 標準化したU値とp値の算出
具体的な計算手順は，Excelを用いた方法で解説しています．
④ 有意差判定
・p値＜有意水準であれば，帰無仮説は棄却されて対立仮説を採択 → 「2群の母集団に差がある」
・p値\(\geq\)有意水準であれば，帰無仮説は棄却されない → 「2群の母集団に差があるとは言えない」
仮説検定の考え方や用語については，以下のページで解説しています．
検定結果を間違いたくない方へ
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》StaatAppで行う仮説検定
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例題で用いるデータと仮説の設定
例題では以下のサンプルデータを用います．AクラスとBクラスのテストの点数になります．
帰無仮説は「2つのクラスの点数に差がない」となり，対立仮説は「2つのクラスの点数に差がある」と設定します．
有意水準α＝0.05で両側検定を行います．
Excelを用いた計算手順
Excelを用いた検定統計量の計算手順について説明します．
以下のような表を作成して，標準化したU値とp値を求めます．
各セルの数式一覧は以下のようになります．
・D列：=RANK.AVG(C3,C:C,1) ※３行目のセルの数式です．下の行へは数式のコピーを行ってください．
・E列：=IF(C2=C3,E2+1,1)
・F列：=IF(AND(OR(E4=1,E4=””),NOT(E3=1)),E3,””)
・G列：=IF(F3=””,””,F3^3-F3)
・J3：=SUMIFS(D:D,B:B,I3)
・K3：=COUNTIFS(B:B,I3)
・L3：=J6+(K3*(K3+1))/2-J3
・J6-9：項目名通りの計算式（nはサンプル数）
・J10：=SUM(G:G)
・J12：=MIN(L3:L4)
・J13：=J6/2
・J14：=SQRT((J6*J8)/12-(J6/(12*J7*J9))*J10)
・J15：=ABS((J12-J13))/J14
・J16：=2*(1-NORMSDIST(J15))
入力式と計算手順について解説します．
① データを入力して昇順に並び替える【B列】【C列】
群（クラス）と値（点数）を各1列にデータを入力します．
入力データを並び替え機能を用いて，昇順に並び替えます．
② 順位を求める【D列】
並び替えた値を順位データに変換します．
順位データはRANK.AVG関数を用いて計算します．RANK.AVG関数の引数は以下になります．
RANK.AVG(“順位に変換する値”,”順位の対象となるデータ群（列）”,1)
※ 例題では値が小さいほど順位が高くなるように計算します．
③ 補正項を求める（タイデータがある場合）【E列】【F列】【G列】【J10】
順位データに同じ値（タイデータ）がある場合，U値の標準偏差を求める際に必要な補正項を求めます．補正項は以下の式で求めることができます．
kはタイデータの個数になります．例題では，6.5位が4つあるためk＝4となります．全てのタイデータに対してk3–kを求め，その総和が補正指数Lになります．
補正項を「J10」セルで計算するために，「E列」・「F列」・「G列」で必要な値を計算します．
④ 各群の合計順位を求める【J3】【J4】
U値の計算に必要な各群の合計値（順位和）を計算します．
特定の列の値ごとに合計値を計算するためにSUMIFS関数を用います．SUMIFS関数の引数は以下になります．
SUMIFS(“合計する値の範囲（列）”,”合計するか判定する値の範囲（列）”,”判定する値の範囲と一致させる値”)
⑤ サンプルサイズを求める【K3】【K4】
各群のサンプルサイズ（データ数）を求めます．COUNTIFS関数を用いて，「B列」に”A”と”B”がいくつあるかカウントします．
⑥ 事前に必要な値を計算する【J6-9】
Excelでは，長い数式を1つのセルで行うと可読性が低くミスを起こしやすいので，U値の算出や標準化する際に，必要ないくつかの項の計算を各セルで予め行います．
naとnbは⑤で求めた各群のサンプルサイズを示しています．
⑦ 各群のU値を求める【L3】【L4】【J12】
各群のU値を求めます．U値は以下の式で求めることができます．
Haは④で求めたAクラスの順位和です．
Bクラスについても同様にU値を求めて，UaとUbのうち小さい値を検定に用いるU値として「J12」セルに入力します．
⑧ U値の平均μUを求める【J13】
U値の平均μUは以下の式で求めることができます．
⑨ U値の標準偏差σUを求める【J14】
U値の標準偏差σUは以下の式で求めることができます．
タイデータがない場合は補正項を除いて計算することができます．
⑩ 検定統計量ｚを求める【J15】
U値を標準化した検定統計量ｚUは以下の式で求めることができます．
⑪ p値を求める【J16】
検定統計量ｚUからNORMSDIST関数を用いてp値を求めます．
例題では計算結果から，p値が0.013..でp値＜有意水準となり帰無仮説は棄却され対立仮説が採択されます．結論としては，「AクラスとBクラスのテストの点数は差がある」となります．
補足① Excelを用いた片側検定の計算方法
「Bクラスのテストの点数はAクラスより低い」という仮説を検証したいとします．
帰無仮説は「AクラスとBクラスのテストの点数は同じ」となり，対立仮説は「Bクラスのテストの点数はAクラスより低い（母集団の点数分布の中央値がBクラスの方が小さい）」となります．
対立仮説を比較するデータの大小について設定した場合，片側検定を行う必要があります．
U値を標準化したｚUを求める手順は，既に説明した計算手順と同じです．⑪で最後に求めたp値が異なります．Excelの片側検定では以下の式を用いてp値を計算します．
片側検定のp値＝1-NORMSDIST(”検定統計量”)
「J18」セルに入力する式としては以下のようになります．
ex) 「J18」セルの入力式：＝1-NORMSDIST(J17)
この結果，p値は0.0065..となり有意水準α＝0.05より小さいことが分かります．よって帰無仮説は棄却され対立仮説を採択します．結論としては「Bクラスのテストの点数はAクラスより低い」となります．
補足② 効果量の求め方（Excel版）
仮説検定の結果として重要な効果量の求め方について，Excelを用いて解説します．
ノンパラメトリック検定の効果量rは，以下の式で求めることができます．
効果量と検定力分析入門 水本・竹内(2010)
※ 効果量には様々な計算方法があるため，論文などでは引用元もしくは計算式を示す必要があります．
例題では標準化した検定統計量Z=2.482..でサンプルサイズN=45となり，効果量r=0.370..となります．
効果量rの値の目安としては次のようになるので，比較した2群には統計学的に少し大きい差があると判断することができます．
【効果量rの目安】 小：0.1 中：0.3 大：0.5
補足③ サンプルサイズが小さい場合
大標本の場合のマンホイットニーのU検定では，正規化近似（Excelの計算手順⑧-⑪）を行いｚ検定を行いました．用いるデータのサンプルサイズが小さい場合は，U値の正規化近似を行うことができないので，専用の検定表を用いたU検定を行う必要があります．
サンプルサイズが小さい基準目安としては，両群のサンプルサイズがともに20以下，もしくは片方が7以下の場合であることです．
例えば，Aクラスの点数を聞いた大学生が19人でBクラスの点数を聞いた大学生が16人だった場合は，専用の検定表を用いたU検定を行ってください．
小標本に対するマンホイットニーのU検定の考え方や手順は，下記ページで解説しています．
補足④ データの前提条件
補足③に加えて，用いるデータの前提条件を解説します．
① ノンパラメトリックなデータ
マンホイットニーのU検定はノンパラメトリックな（＝正規分布でない）データに対して行います．用いるデータが正規分布と仮定できる場合は，マンホイットニーのU検定を行うことも可能ですが，多くの場合でｔ検定を行います．（検出力がｔ検定に比べて95％であるため，ｔ検定を用いることが多いです．）
② 順序尺度
名義尺度のデータに対しては用いることができません．名義尺度はデータの大小に意味が無い，つまり順位和を求めることができないことから明らかです．名義尺度のデータの差や関連性を分析する際は，クロス集計表を用います．
③ 対応のないデータ
比較する2つのグループは対応のない場合である（異なる個体のデータ）である必要があります．対応のある場合は，ウィルコクソンの符号順位検定を行います．
④ 等分散性があるデータ
比較する2つのデータの分布（特に分散）が異なる場合，マンホイットニーのU検定は正確に検定することができません．分布が等しくない場合，ブルンナー・ムンチェル検定を行います．
