ブルンナー・ムンチェル検定とは
ブルンナー・ムンチェル検定とは，対応のない2群の差の検定（対応のないｔ検定）のノンパラメトリック版です．順序尺度以上のデータに対して用いることができます．
ノンパラメトリックの対応のない2群の差の検定としては，マンホイットニーのU検定が一般的に使われますがブルンナー・ムンチェル検定は2群の等分散性がない場合にも使うことができます．
ブルンナー・ムンチェル検定の検定統計量はサンプルサイズが小さい場合はｔ分布に従い，大きい場合は標準正規分布に従います．
サンプルサイズが非常に小さい場合（n<8）は並べ替え検定を行う必要があります．
ブルンナー・ムンチェル検定の手順
ブルンナー・ムンチェル検定は以下の手順で行います．
① 仮説の設定
帰無仮説は「2群の母集団に差がない」，対立仮説は「2群の母集団に差がある」として設定します．
② 有意水準の決定
有意水準α＝0.05，もしくは0.01で設定します．一般的には有意水準α＝0.05と設定されます．
③ 検定統計量の算出
具体的な計算手順は，Excelを用いた方法で解説しています．
④ p値の算出
検定統計量からp値を算出します．サンプルサイズによって用いる分布が異なります．
④ 有意差判定
・p値＜有意水準であれば，帰無仮説は棄却されて対立仮説を採択 → 「2群の母集団に差がある」
・p値\(\geq\)有意水準であれば，帰無仮説は棄却されない → 「2群の母集団に差があるとは言えない」
統計的仮説検定の考え方や用語については，以下のページで解説しています．
検定結果を間違えたくない方へ
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》StaatAppで行う仮説検定
》統計解析アプリStaatApp
例題で用いるデータと仮説の設定
例題では以下のサンプルデータを用います．2つの会社の従業員から調査した，働き方に対する満足度（5段階評価）になります．
帰無仮説は「働き方の満足度に差がない」となり，対立仮説は「働き方の満足度に差がある」と設定します．
有意水準α＝0.05で検定は行います．
Excelを用いた計算方法
Excelを用いたp値の計算手順について説明します．
以下のような表を作成して，検定統計量Wとp値を求めます．（16行目以降もサンプルデータは入力されています）
各セルの入力式は以下のようになります．
・D3：=RANK.AVG(C3,C$3:C$13,1)
・D14：=RANK.AVG(C14,C$14:C$26,1)
・E3：=RANK.AVG(C3,C:C,1)
・F3：=(E3-D3-K$3+J$3)^2
・F14：=(E14-D14-K$4+J$4)^2
・I3：=COUNTIF(B3:B26,”=A”)
・J3：=(I3+1)/2
・K3：=SUM(E3:E13)/I3
・L3：=(1/(I3-1))*SUM(F3:F13)
・I6：=ABS((I3*I4*(K4-K3))/((I3+I4)*SQRT(I3*L3+I4*L4)))
・I7：=((I3*L3+I4*L4)^2)/((((I3*L3)^2)/(I3-1))+((I4*L4)^2)/(I4-1))
・I8：=TDIST(I6,I7,2)
入力式と計算手順について解説します．
① データの入力【B列】【C列】
群（会社）と値（満足度）を各1列にデータを入力します．群は上下で分かれるように入力します．
② 群内順位を求める【D列】
値を群ごとの順位データに変換します．
順位データはRANK.AVG関数を用いて計算します．RANK.AVG関数の引数は以下になります．
RANK.AVG(“順位に変換する値”,”順位の対象となるデータ群（各群のデータ範囲）”,1)
※ 例題では値が小さいほど順位が高くなるように計算します．
群ごとに対象のデータ範囲が異なるので注意してください．
③ 全体順位を求める【E列】
2群を合わせた順位に変換します．②と同様にRANK.AVG関数を用いて計算します．
”順位の対象となるデータ群”は，データの範囲はAとBを合わせた範囲になります．
④ サンプルサイズを求める【I3】【I4】
各群のサンプルサイズを求めます．COUNTIFS関数を用いて，「B列」に”A”と”B”がいくつあるかカウントします．
⑤ 各群の平均群内順位を求める【J3】【J4】
各群の群内順位の平均を計算します．郡内順位を用いずに，以下の式で簡単に求めることができます．
⑥ 各群の平均全体順位を求める【K3】【K4】
各群の全体順位の平均を計算します．群ごとに全体順位の和を，サンプルサイズで割ることで求めることができます．
⑦ 各群の順位データの不偏分散を求める【F列】【L3】【L4】
群ごとに順位データから不偏分散を計算します．不偏分散S2は以下の式で求めることができます．
Rkは各全体順位，rkは各群内順位，Rは⑥で求めた平均全体順位になります．
ExcelではΣ内の値（データごとの平均からの差）をF列で計算してから，SUM関数を用いて不偏分散を計算します．
⑧ 検定統計量Wを求める【I6】
検定統計量を計算します．検定統計量Wは以下の式での求めることができます．
⑨ 自由度fを求める【I7】
ｔ分布の自由度を計算します．自由度fは以下の式で求めることができます．
⑩ p値を求める【I8】
検定統計量と自由度からp値を計算します．サンプルサイズが小さい場合，検定統計量Wは自由度fのｔ分布に従います．
Excelではｔ分布のp値をTDIST関数で求めることができます．
TDIST関数の書き方：=TDIST(“検定統計量”,”自由度”,2（両側確率）)
例題では計算結果からp値は0.0309…となりました．よって帰無仮説は棄却され「2つの会社で働き方の満足度に差がある」といった結論が得られます．
※ 自由度が少数の場合は以下の数式を用いることで，p値を算出することができます．
=MIN(1-BETA.DIST(I7/(I7+I6^2),I7/2,1/2,TRUE),BETA.DIST(I7/(I7+I6^2),I7/2,1/2,TRUE))
補足① サンプルサイズが大きい場合
Excelを用いた計算例では，サンプルサイズが小さい場合のブルンナー・ムンチェル検定を紹介しました．サンプルサイズが大きい場合は，検定統計量Wは標準正規分布に近似することができます．
サンプルサイズが大きい場合の目安としては，両群を合わせたデータ数が50以上の場合です．
標準正規分布のp値はExcelでは，NORMSDIST関数を用いて計算することができます．
標準正規分布のp値（両側）の計算式：=2*(1-NORMSDIST(“検定統計量”))
補足② データの前提条件
補足①に加えて，用いるデータの前提条件を解説します．
① ノンパラメトリックなデータ
ブルンナー・ムンチェル検定はノンパラメトリックな（＝正規分布でない）データに対して行います．用いるデータが正規分布と仮定できる場合は，ブルンナー・ムンチェル検定を行うことも可能ですが多くの場合で対応のないｔ検定を行います．
② 順序尺度
名義尺度のデータに対しては用いることができません．名義尺度はデータの大小に意味が無い，つまり順位和を求めることができないことから明らかです．名義尺度のデータの差や関連性を分析する際は，クロス集計表を用います．
③ 対応のないデータ
比較する2つのグループは対応のない場合である（異なる個体のデータ）である必要があります．対応のある場合は，ウィルコクソンの符号順位和検定を行いましょう．
》対応のある・対応のないとは
》ウィルコクソンの符号順位和検定
④ 不等分散の場合
冒頭で説明したようにブルンナー・ムンチェル検定は，マンホイットニーのU検定において2群の等分散性が仮定できない場合に行う検定方法です．等分散性が仮定できる場合は，マンホイットニーのU検定を行うのが一般的です．
