ノンパラメトリック検定であるマンホイットニーのU検定（ウィルコクソンの順位和検定）について小標本の場合について解説します．
マンホイットニーのU検定とは
マンホイットニーのU検定とは，対応のない2群の差の検定（対応のないｔ検定）のノンパラメトリック版です．順序尺度以上のデータに対して用いることができます．
ウィルコクソンの順位和検定と呼ばれることもありますが，手法自体は同じです．（化学者のF・ウィルコクソンと，経済学者のH・B・マンと大学院生のホイットニーが同年代にそれぞれで考え出された手法になります．）
マンホイットニーのU検定の考え方は以下になります．
マンホイットニーのU検定では，2群のデータを順番に並べて順位を比較します．片方の群の値以下のもう片方の値の個数を合計した値が検定統計量Uになります．
小標本の場合は検定統計量は専用の分布に従い，2群に差があるほど端に分布します．小標本とは両群のサンプルサイズがともに20以下，もしくは片方が7以下の場合です．
検定表から読み取った限界値と比較して検定統計量が小さい場合（端に分布する）は，2群に差があると判定します．
マンホイットニーのU検定の手順
マンホイットニーのU検定は以下の手順で行います．
① 仮説の設定
帰無仮説は「2群の母集団に差がない」，対立仮説は「2群の母集団に差がある」として設定します．
② 有意水準の決定
有意水準α＝0.05，もしくは0.01とします．一般的には有意水準α＝0.05として設定されます．
③ 検定統計量の算出
具体的な計算手順は，Excelを用いた方法で解説しています．
④ 有意差判定
・検定統計量＜限界値であれば，帰無仮説は棄却されて対立仮説を採択 → 「2群の母集団に差がある」
・検定統計量\(\geq\)限界値であれば，帰無仮説は棄却されない → 「2群の母集団に差があるとは言えない」
仮説検定の考え方や用語については，以下のページで解説しています．
検定結果を間違いたくない方へ
Excelを用いた計算方法より簡単・正確に，マンホイットニーのU検定の検定結果を調べることができる統計解析アプリStaatAppを販売しております．StaatAppでは標本数によって最適な計算方法でマンホイットニーのU検定が実行され，p値や効果量を求めることができます．
StaatAppではマンホイットニーのU検定以外にも様々なノンパラメトリック検定をクリックだけで実行することができます．詳細は以下のページをお読みください．
》StaatAppで行う仮説検定
》統計解析アプリStaatApp
例題で用いるデータと仮説の設定
例題では以下のサンプルデータを用います．AクラスとBクラスのテストの点数になります．
帰無仮説は「2つのクラスの点数に差がない」となり，対立仮説は「2つのクラスの点数に差がある」と設定します．
有意水準α＝0.05で検定は行います．
Excelを用いた計算手順
Excelを用いた検定統計量の計算手順について説明します．
以下のような表を作成して，検定統計量Uを求めます．
各セルの入力式は以下のようになります．
・D列：=RANK.AVG(C3,C:C,1) ※３行目のセルの数式です．下の行へは数式のコピーを行ってください．
・G3：=SUMIFS(D:D,B:B,F3)
・H3：=COUNTIFS(B:B,F3)
・I3：=G3-(H3*(H3+1))/2
入力式と計算手順について解説します．
① データの入力【B列】【C列】
群（クラス）と値（点数）を各１列にデータを入力します．
② 順位を求める【D列】
値を順位データに変換します．
順位データはRANK.AVG関数を用いて計算します．RANK.AVG関数の引数は以下になります．
RANK.AVG(“順位に変換する値”,”順位の対象となるデータ群（列）”,0)
※ 例題では値が小さいほど順位が高くなるように計算します．
③ 各群の合計順位を求める【G3】【G4】
検定統計量の計算に必要な各群の合計値（順位和）を計算します．
特定の列の値ごとに合計値を計算するためにSUMIFS関数を用います．SUMIFS関数の引数は以下になります．
SUMIFS(“合計する値の範囲（列）”,”合計するか判定する値の範囲（列）”,”判定する値の範囲と一致させる値”)
④ サンプルサイズを求める【H3】【H4】
各群のサンプルサイズ（データ数）を求めます．COUNTIFS関数を用いて，「B列」に”A”と”B”がいくつあるかカウントします．
⑤ 検定統計量Uを求める
2群に対して以下の式で求めた値のうち小さい方が検定統計量Uになります．
Riは各群の順位和，niはサンプルサイズになります．
例題では，56.5と43.5という値が計算できたので検定統計量U＝43.5になります．
検定表から限界値の求め方
限界値の求め方について説明します．
例題では有意水準α＝0.05であったので，両側5％の検定表を見ます．以下は検定表の一部抜粋です．
Aクラスのサンプルサイズは10であったのでn1=10となります．Bクラスのサンプルサイズも10であったのでn2＝10となります．それぞれの行・列に一致する値である23が限界値となります．
※ サンプルサイズが等しくない場合は，サンプルサイズが小さい方をn1とします．
検定統計量が43.5であったため，検定統計量\(\geq\)限界値となり「2つのクラスの点数に差があるとは言えない」といった結論になります．
補足① マンホイットニー検定表
マンホイットニー検定表は以下になります．
補足② 効果量の求め方（Excel版）
仮説検定の結果として重要な効果量の求め方について，Excelを用いて解説します．
ノンパラメトリック検定の効果量rは，以下の式で求めることができます．
効果量と検定力分析入門 水本・竹内(2010)
※ 効果量には様々な計算方法があるため，論文などでは引用元もしくは計算式を示す必要があります．
Zは検定統計量を標準化（Z変換）した値，Nはサンプルサイズになります．マンホイットニーのU検定のU検定統計量Uは以下の式で標準化することができます．（詳しくは大標本の場合の計算手順で解説しています．）
μUはU値の平均，σUはU値の標準偏差になります．Excelでは以下のように計算することができます．
・G7セル：=H3*H4/2
・G8セル：=SQRT(H3*H4*(H3+H4+1)/12)
・G9セル：=ABS((G6-G7))/G8
※ より正確に標準偏差を求める際は，大標本の計算手順と同様に同順位の補正を行います．
・G10セル：=G9/SQRT(H3+H4)
効果量rの値の目安としては次のようになります．
【効果量rの目安】 小：0.1 中：0.3 大：0.5
例題において効果量は小さいため，「2つのクラスの点数にはそれほど差がない」と言うことができます．
補足③ サンプルサイズが大きい場合
小標本の（＝サンプルサイズが小さい）データに対して行うマンホイットニーのU検定を紹介しました．大標本のデータに対しては検定統計量Uの正規化を行い，ｚ検定します．
サンプルサイズが小さい場合の目安としては，両群のサンプルサイズがともに20以下，もしくは片方が7以下の場合です．
例えば，片方のデータの個数が21だった場合は正規化近似を使ったマンホイットニーのU検定（ウィルコクソンの順位和検定）を行ってください．
大標本に対して行なうマンホイットニーのU検定の具体的な手順については下記ページで解説しています．
補足④ データの前提条件
補足③に加えて，用いるデータの前提条件を解説します．
① ノンパラメトリックなデータ
マンホイットニーのU検定はノンパラメトリックな（＝正規分布でない）データに対して行います．用いるデータが正規分布と仮定できる場合は，マンホイットニーのU検定を行うことも可能ですが多くの場合で対応のないｔ検定を行います．（検定力がｔ検定に比べて95％であるため，ｔ検定を用いることが多いです．）
② 順序尺度
名義尺度のデータに対しては用いることができません．名義尺度はデータの大小に意味が無い，つまり順位和を求めることができないことから明らかです．名義尺度のデータの差や関連性を分析する際は，クロス集計表を用います．
③ 対応のないデータ
比較する2つのグループは対応のない場合である（異なる個体のデータ）である必要があります．対応のある場合は，ウィルコクソンの符号順位検定を行います．
④ 等分散性があるデータ
比較する2つのデータの分布（特に分散）が異なる場合，マンホイットニーのU検定は正確に検定することができません．分布が等しくない場合，ブルンナー・ムンチェル検定を行います．
