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【大標本の場合】マンホイットニーのU検定

ノンパラメトリック検定である,マンホイットニーのU検定(ウィルコクソンの順位和検定)の大標本の場合について解説します.

》マンホイットニーのU検定(小標本の場合)

マンホイットニーのU検定とは

マンホイットニーのU検定とは,対応のない2群の差の検定(対応のないt検定)のノンパラメトリック版です.順序尺度以上のデータに対して用いることができます.

ウィルコクソンの順位和検定と呼ばれることもありますが,手法自体は同じです.

マンホイットニーのU検定の考え方は以下になります.

大標本の場合のマン・ホイットニーのU検定の考え方

マンホイットニーのU検定では,2群のデータを順番に並べて順位を比較します.片方の群の値以下の,もう片方の値の個数を合計した値がU値になります.

大標本の場合はU値が近似的に正規分布に従うので,U値を標準化してz検定を行います.大標本とは片方のサンプルサイズが21以上,もしくは両群が8以上の場合です.

標準化したU値からp値を求め,有意水準より小さい場合は2群に差があると判定します.

マンホイットニーのU検定の手順

マンホイットニーのU検定は以下の手順で行います.

仮説の設定
 帰無仮説は「2群の母集団に差がない」,対立仮説は「2群の母集団に差がある」として設定します.

② 有意水準の決定
 マンホイットニーのU検定では有意水準α=0.05,もしく0.01とします.

③ 標準化したU値とp値の算出
 具体的な計算手順は,Excelを用いた方法で解説しています.

④ 有意差判定
  ・p値<有意水準であれば,帰無仮説は棄却されて対立仮説を採択 → 「2群の母集団に差がある」
  ・p値\(\geq\)有意水準であれば,帰無仮説は棄却されない → 「2群の母集団に差があるとは言えない」

仮説検定の考え方や用語については,以下のページで解説しています.

》仮説検定とは

検定結果を間違いたくない方へ

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》StaatAppで行う仮説検定
》統計解析アプリStaatApp

統計解析アプリStaatApp

例題で用いるデータと仮説の設定

例題では以下のサンプルデータを用います.AクラスとBクラスのテストの点数になります.

ウィルコクソンの順位和検定の例題用データ

帰無仮説は「2つのクラスの点数に差がない」となり,対立仮説は「2つのクラスの点数に差がある」と設定します.

有意水準α=0.05で両側検定を行います.

Excelを用いた計算手順

Excelを用いた検定統計量の計算手順について説明します.

以下のような表を作成して,標準化しU値とp値を求めます.

Excelを用いたウィルコクソンの順位和検定の計算例

各セルの数式一覧は以下のようになります.

・D列:=RANK.AVG(C3,C:C,1) ※3行目のセルの数式です.下の行へは数式のコピーを行ってください.
・E列:=IF(C2=C3,E2+1,1)
・F列:=IF(AND(OR(E4=1,E4=””),NOT(E3=1)),E3,””)
・G列:=IF(F3=””,””,F3^3-F3)
・J3:=SUMIFS(D:D,B:B,I3)
・K3:=COUNTIFS(B:B,I3)
・L3:=J6+(K3*(K3+1))/2-J3
・J6-9:項目名通りの計算式(nはサンプル数)
・J10:=SUM(G:G)
・J12:=MIN(L3:L4)
・J13:=J6/2
・J14:=SQRT((J6*J8)/12-(J6/(12*J7*J9))*J10)
・J15:=ABS((J12-J13))/J14
・J16:=2*(1-NORMSDIST(J15))

入力式と計算手順について解説します.

データを入力して昇順に並び替える【B列】【C列】
 群(クラス)と値(点数)を各1列にデータを入力します.

 入力データを並び替え機能を用いて,昇順に並び替えます.

順位を求める【D列】
 並び替えた値を順位データに変換します.

 順位データはRANK.AVG関数を用いて計算します.RANK.AVG関数の引数は以下になります.

 RANK.AVG(“順位に変換する値”,”順位の対象となるデータ群(列)”,1)
※ 例題では値が小さいほど順位が高くなるように計算します.

③ 補正項を求める(タイデータがある場合)【E列】【F列】【G列】【J10】
 順位データに同じ値(タイデータ)がある場合,U値の標準偏差を求める際に必要な補正項を求めます.補正項は以下の式で求めることができます.

タイデータの補正項の計算式

 kはタイデータの個数になります.例題では,6.5位が4つあるためk=4となります.全てのタイデータに対してk3kを求め,その総和が補正指数Lになります.

 補正項を「J10」セルで計算するために,「E列」・「F列」・「G列」で必要な値を計算します.

④ 各群の合計順位を求める【J3】【J4】
 U値の計算に必要な各群の合計値(順位和)を計算します.

 特定の列の値ごとに合計値を計算するためにSUMIFS関数を用います.SUMIFS関数の引数は以下になります.

 SUMIFS(“合計する値の範囲(列)”,”合計するか判定する値の範囲(列)”,”判定する値の範囲と一致させる値”)

⑤ サンプルサイズを求める【K3】【K4】
 各群のサンプルサイズ(データ数)を求めます.COUNTIFS関数を用いて,「B列」に”A”と”B”がいくつあるかカウントします.

事前に必要な値を計算する【J6-9】
 Excelでは,長い数式を1つのセルで行うと可読性が低くミスを起こしやすいので,U値の算出や標準化する際に,必要ないくつかの項の計算を各セルで予め行います.

 naとnbは⑤で求めた各群のサンプルサイズを示しています.

⑦ 各群のU値を求める【L3】【L4】【J12】
 各群のU値を求めます.U値は以下の式で求めることができます.

検定統計量U値の計算式

 Haは④で求めたAクラスの順位和です.

 Bクラスについても同様にU値を求めて,UaUbのうち小さい値を検定に用いるU値として「J12」セルに入力します.

⑧ U値の平均μUを求める【J13】
 U値の平均μUは以下の式で求めることができます.

U検定統計量の平均

⑨ U値の標準偏差σUを求める【J14】
 U値の標準偏差σUは以下の式で求めることができます.

U検定統計量の標準偏差

 タイデータがない場合は補正項を除いて計算することができます.

⑩ 検定統計量を求める【J15】
 U値を標準化した検定統計量zUは以下の式で求めることができます.

検定統計量Zの計算式

⑪ p値を求める【J16】
 検定統計量zUからNORMSDIST関数を用いてp値を求めます.

例題では計算結果から,p値が0.013..でp値<有意水準となり帰無仮説は棄却され対立仮説が採択されます.結論としては,「AクラスとBクラスのテストの点数は差がある」となります.

》正しく理解したい!p値とは

補足① Excelを用いた片側検定の計算方法

「Bクラスのテストの点数はAクラスより低い」という仮説を検証したいとします.

帰無仮説は「AクラスとBクラスのテストの点数は同じ」となり,対立仮説は「Bクラスのテストの点数はAクラスより低い(母集団の点数分布の中央値がBクラスの方が小さい)」となります.

対立仮説を比較するデータの大小について設定した場合,片側検定を行う必要があります.

U値を標準化したzUを求める手順は,既に説明した計算手順と同じです.⑪で最後に求めたp値が異なります.Excelの片側検定では以下の式を用いてp値を計算します.

 片側検定のp値=1-NORMSDIST(”検定統計量”)

「J18」セルに入力する式としては以下のようになります.

 ex) 「J18」セルの入力式:=1-NORMSDIST(J17)

この結果,p値は0.0065..となり有意水準α=0.05より小さいことが分かります.よって帰無仮説は棄却され対立仮説を採択します.結論としては「Bクラスのテストの点数はAクラスより低い」となります.

補足② 効果量の求め方(Excel版)

仮説検定の結果として重要な効果量の求め方について,Excelを用いて解説します.

》仮説検定の結果はp値だけでは不十分?(効果量とは)

ノンパラメトリック検定の効果量rは,以下の式で求めることができます.

ノンパラメトリック検定の効果量の計算式

効果量と検定力分析入門 水本・竹内(2010) 
※ 効果量には様々な計算方法があるため,論文などでは引用元もしくは計算式を示す必要があります.

例題では標準化した検定統計量Z=2.482..でサンプルサイズN=45となり,効果量r=0.370..となります.

効果量rの値の目安としては次のようになるので,比較した2群には統計学的に少し大きい差があると判断することができます.

【効果量rの目安】 小:0.1  中:0.3  大:0.5

補足③ サンプルサイズが小さい場合

大標本の場合のマンホイットニーのU検定では,正規化近似(Excelの計算手順⑧-⑪)を行いz検定を行いました.用いるデータのサンプルサイズが小さい場合は,U値の正規化近似を行うことができないので,専用の検定表を用いたU検定を行う必要があります.

サンプルサイズが小さい基準目安としては,両群のサンプルサイズがともに20以下,もしくは片方が7以下の場合であることです.

例えば,Aクラスの点数を聞いた大学生が19人でBクラスの点数を聞いた大学生が16人だった場合は,専用の検定表を用いたU検定を行ってください.

小標本に対するマンホイットニーのU検定の考え方や手順は,下記ページで解説しています.

》マンホイットニーのU検定(小標本の場合)

補足④ データの前提条件

補足③に加えて,用いるデータの前提条件を解説します.

① ノンパラメトリックなデータ
  マンホイットニーのU検定はノンパラメトリックな(=正規分布でない)データに対して行います.用いるデータが正規分布と仮定できる場合は,マンホイットニーのU検定を行うことも可能ですが,多くの場合でt検定を行います.(検出力がt検定に比べて95%であるため,t検定を用いることが多いです.)

》対応のないt検定

② 順序尺度
  名義尺度のデータに対しては用いることができません.名義尺度はデータの大小に意味が無い,つまり順位和を求めることができないことから明らかです.名義尺度のデータの差や関連性を分析する際は,クロス集計表を用います.

》クロス集計表のデータ分析
》統計学におけるでデータの種類

③ 対応のないデータ
  比較する2つのグループは対応のない場合である(異なる個体のデータ)である必要があります.対応のある場合は,ウィルコクソンの符号順位検定を行います.

》対応のない・対応のあるとは
》ウィルコクソンの符号順位検定

④ 等分散性があるデータ
 比較する2つのデータの分布(特に分散)が異なる場合,マンホイットニーのU検定は正確に検定することができません.分布が等しくない場合,ブルンナー・ムンチェル検定を行います.

》ブルンナー・ムンチェル検定