ノンパラメトリック検定であるマンホイットニーのU検定（ウィルコクソンの順位和検定）の大標本の場合について解説します．
マンホイットニーのU検定とは
マンホイットニーのU検定とは，対応のない2群の差の検定（対応のないｔ検定）のノンパラメトリック版です．順序尺度以上のデータに対して用いることができます．
ウィルコクソンの順位和検定と呼ばれることもありますが，手法自体は同じです．
マンホイットニーのU検定の考え方は以下になります．
マンホイットニーのU検定では，2群のデータを順番に並べて順位を比較します．片方の群の値以下のもう片方の値の個数を合計した値がU値になります．
大標本の場合はU値が近似的に正規分布に従うので，U値を標準化してｚ検定を行います．大標本とは片方のサンプルサイズが21以上，もしくは両群が8以上の場合です．
標準化したU値からp値を求め，有意水準より小さい場合は2群に差があると判定します．
マンホイットニーのU検定の手順
マンホイットニーのU検定は以下の手順で行います．
① 仮説の設定
帰無仮説は「2群の母集団に差がない」，対立仮説は「2群の母集団に差がある」として設定します．
② 有意水準の決定
マンホイットニーのU検定では有意水準α＝0.05，もしく0.01とします．
③ 標準化したU値とp値の算出
具体的な計算手順は，Excelを用いた方法で解説しています．
④ 有意差判定
・p値＜有意水準であれば，帰無仮説は棄却されて対立仮説を採択 → 「2群の母集団に差がある」
・p値\(\geq\)有意水準であれば，帰無仮説は棄却されない → 「2群の母集団に差があるとは言えない」
仮説検定の考え方や用語については，以下のページで解説しています．
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例題で用いるデータと仮説の設定
例題では以下のサンプルデータを用います．AクラスとBクラスのテストの点数になります．
帰無仮説は「2つのクラスの点数に差がない」となり，対立仮説は「2つのクラスの点数に差がある」と設定します．
有意水準α＝0.05で両側検定を行います．
Excelを用いた計算手順
Excelを用いた検定統計量の計算手順について説明します．
以下のような表を作成して，標準化したU値とp値を求めます．
各セルの数式一覧は以下のようになります．
・D列：=RANK.AVG(C3,C:C,1) ※３行目のセルの数式です．下の行へは数式のコピーを行ってください．
・E列：=IF(C2=C3,E2+1,1)
・F列：=IF(AND(OR(E4=1,E4=””),NOT(E3=1)),E3,””)
・G列：=IF(F3=””,””,F3^3-F3)
・J3：=SUMIFS(D:D,B:B,I3)
・K3：=COUNTIFS(B:B,I3)
・L3：=J6+(K3*(K3+1))/2-J3
・J6-9：項目名通りの計算式（nはサンプル数）
・J10：=SUM(G:G)
・J12：=MIN(L3:L4)
・J13：=J6/2
・J14：=SQRT((J6*J8)/12-(J6/(12*J7*J9))*J10)
・J15：=ABS((J12-J13))/J14
・J16：=2*(1-NORMSDIST(J15))
入力式と計算手順について解説します．
① データを入力して昇順に並び替える【B列】【C列】
群（クラス）と値（点数）を各1列にデータを入力します．
入力データを並び替え機能を用いて，昇順に並び替えます．
② 順位を求める【D列】
並び替えた値を順位データに変換します．
順位データはRANK.AVG関数を用いて計算します．RANK.AVG関数の引数は以下になります．
RANK.AVG(“順位に変換する値”,”順位の対象となるデータ群（列）”,1)
※ 例題では値が小さいほど順位が高くなるように計算します．
③ 補正項を求める（タイデータがある場合）【E列】【F列】【G列】【J10】
順位データに同じ値（タイデータ）がある場合，U値の標準偏差を求める際に必要な補正項を求めます．補正項は以下の式で求めることができます．
kはタイデータの個数になります．例題では，6.5位が4つあるためk＝4となります．全てのタイデータに対してk3–kを求め，その総和が補正指数Lになります．
補正項を「J10」セルで計算するために，「E列」・「F列」・「G列」で必要な値を計算します．
④ 各群の合計順位を求める【J3】【J4】
U値の計算に必要な各群の合計値（順位和）を計算します．
特定の列の値ごとに合計値を計算するためにSUMIFS関数を用います．SUMIFS関数の引数は以下になります．
SUMIFS(“合計する値の範囲（列）”,”合計するか判定する値の範囲（列）”,”判定する値の範囲と一致させる値”)
⑤ サンプルサイズを求める【K3】【K4】
各群のサンプルサイズ（データ数）を求めます．COUNTIFS関数を用いて，「B列」に”A”と”B”がいくつあるかカウントします．
⑥ 事前に必要な値を計算する【J6-9】
Excelでは，長い数式を1つのセルで行うと可読性が低くミスを起こしやすいので，U値の算出や標準化する際に必要ないくつかの項の計算を各セルで予め行います．
naとnbは⑤で求めた各群のサンプルサイズを示しています．
⑦ 各群のU値を求める【L3】【L4】【J12】
各群のU値を求めます．U値は以下の式で求めることができます．
Haは④で求めたAクラスの順位和です．
Bクラスについても同様にU値を求めて，UaとUbのうち小さい値を検定に用いるU値として「J12」セルに入力します．
⑧ U値の平均μUを求める【J13】
U値の平均μUは以下の式で求めることができます．
⑨ U値の標準偏差σUを求める【J14】
U値の標準偏差σUは以下の式で求めることができます．
タイデータがない場合は補正項を除いて計算することができます．
⑩ 検定統計量ｚを求める【J15】
U値を標準化した検定統計量ｚUは以下の式で求めることができます．
⑪ p値を求める【J16】
検定統計量ｚUからNORMSDIST関数を用いてp値を求めます．
例題では計算結果から，p値が0.013..でp値＜有意水準となり帰無仮説は棄却され対立仮説が採択されます．結論としては，「AクラスとBクラスのテストの点数は差がある」となります．
補足① Excelを用いた片側検定の計算方法
「Bクラスのテストの点数はAクラスより低い」という仮説を検証したいとします．
帰無仮説は「AクラスとBクラスのテストの点数は同じ」となり，対立仮説は「Bクラスのテストの点数はAクラスより低い（母集団の点数分布の中央値がBクラスの方が小さい）」となります．
対立仮説を比較するデータの大小について設定した場合，片側検定を行う必要があります．
U値を標準化したｚUを求める手順は，既に説明した計算手順と同じです．⑪で最後に求めたp値が異なります．Excelの片側検定では以下の式を用いてp値を計算します．
片側検定のp値＝1-NORMSDIST(”検定統計量”)
「J18」セルに入力する式としては以下のようになります．
ex) 「J18」セルの入力式：＝1-NORMSDIST(J17)
この結果，p値は0.0065..となり有意水準α＝0.05より小さいことが分かります．よって帰無仮説は棄却され対立仮説を採択します．結論としては「Bクラスのテストの点数はAクラスより低い」となります．
補足② 効果量の求め方（Excel版）
仮説検定の結果として重要な効果量の求め方について，Excelを用いて解説します．
ノンパラメトリック検定の効果量rは，以下の式で求めることができます．
効果量と検定力分析入門 水本・竹内(2010)
※ 効果量には様々な計算方法があるため，論文などでは引用元もしくは計算式を示す必要があります．
例題では標準化した検定統計量Z=2.482..でサンプルサイズN=45となり，効果量r=0.370..となります．
効果量rの値の目安としては次のようになるので，比較した2群には統計学的に少し大きい差があると判断することができます．
【効果量rの目安】 小：0.1 中：0.3 大：0.5
補足③ サンプルサイズが小さい場合
大標本の場合のマンホイットニーのU検定では，正規化近似（Excelの計算手順⑧-⑪）を行いｚ検定を行いました．用いるデータのサンプルサイズが小さい場合はU値の正規化近似を行うことができないので，専用の検定表を用いたU検定を行う必要があります．
サンプルサイズが小さい基準目安としては両群のサンプルサイズがともに20以下，もしくは片方が7以下の場合であることです．
例えば，Aクラスの点数を聞いた大学生が19人でBクラスの点数を聞いた大学生が16人だった場合は専用の検定表を用いたU検定を行ってください．
小標本に対するマンホイットニーのU検定の考え方や手順は下記ページで解説しています．
補足④ データの前提条件
補足③に加えて，用いるデータの前提条件を解説します．
① ノンパラメトリックなデータ
マンホイットニーのU検定はノンパラメトリックな（＝正規分布でない）データに対して行います．用いるデータが正規分布と仮定できる場合は，マンホイットニーのU検定を行うことも可能ですが多くの場合でｔ検定を行います．（検出力がｔ検定に比べて95％であるため，ｔ検定を用いることが多いです．）
② 順序尺度
名義尺度のデータに対しては用いることができません．名義尺度はデータの大小に意味が無い，つまり順位和を求めることができないことから明らかです．名義尺度のデータの差や関連性を分析する際は，クロス集計表を用います．
③ 対応のないデータ
比較する2つのグループは対応のない場合である（異なる個体のデータ）である必要があります．対応のある場合は，ウィルコクソンの符号順位検定を行います．
④ 等分散性があるデータ
比較する2つのデータの分布（特に分散）が異なる場合，マンホイットニーのU検定は正確に検定することができません．分布が等しくない場合，ブルンナー・ムンチェル検定を行います．
