ノンパラメトリック検定であるマンホイットニーのU検定（ウィルコクソンの順位和検定）について，小標本の場合について解説します．
マンホイットニーのU検定とは
マンホイットニーのU検定とは，対応のない2群の差の検定（対応のないｔ検定）のノンパラメトリック版です．順序尺度以上のデータに対して用いることができます．
ウィルコクソンの順位和検定と呼ばれることもありますが，手法自体は同じです．（化学者のF・ウィルコクソンと，経済学者のH・B・マンと大学院生のホイットニーが同年代にそれぞれで考え出された手法になります．）
マンホイットニーのU検定の考え方は以下になります．
マンホイットニーのU検定では，2群のデータを順番に並べて順位を比較します．片方の群の値以下のもう片方の値の個数を，合計した値が検定統計量Uになります．
小標本の場合は検定統計量は専用の分布に従い，2群に差があるほど端に分布します．小標本とは両群のサンプルサイズがともに20以下，もしくは片方が7以下の場合です．
検定表から読み取った限界値と比較して，検定統計量が小さい場合（端に分布する）は，2群に差があると判定します．
マンホイットニーのU検定の手順
マンホイットニーのU検定は以下の手順で行います．
① 仮説の設定
帰無仮説は「2群の母集団に差がない」，対立仮説は「2群の母集団に差がある」として設定します．
② 有意水準の決定
有意水準α＝0.05，もしくは0.01とします．一般的には有意水準α＝0.05として設定されます．
③ 検定統計量の算出
具体的な計算手順は，Excelを用いた方法で解説しています．
④ 有意差判定
・検定統計量＜限界値であれば，帰無仮説は棄却されて対立仮説を採択 → 「2群の母集団に差がある」
・検定統計量\(\geq\)限界値であれば，帰無仮説は棄却されない → 「2群の母集団に差があるとは言えない」
仮説検定の考え方や用語については，以下のページで解説しています．
検定結果を間違いたくない方へ
Excelを用いた計算方法より手軽・正確に，マンホイットニーのU検定の検定結果を調べることができる統計解析アプリStaatAppを販売しております．StaatAppでは標本数によって最適な計算方法でマンホイットニーのU検定が実行され，p値や効果量を求めることができます．
StaatAppではマンホイットニーのU検定以外にも，様々なノンパラメトリック検定・統計手法をマウス操作だけで実行することができます．詳細は以下のページをお読みください．
》StaatAppで行う仮説検定
》統計解析アプリStaatApp
例題で用いるデータと仮説の設定
例題では以下のサンプルデータを用います．AクラスとBクラスのテストの点数になります．
帰無仮説は「2つのクラスの点数に差がない」となり，対立仮説は「2つのクラスの点数に差がある」と設定します．
有意水準α＝0.05で検定は行います．
Excelを用いた計算手順
Excelを用いた検定統計量の計算手順について説明します．
以下のような表を作成して，検定統計量Uを求めます．
各セルの入力式は以下のようになります．
・D列：=RANK.AVG(C3,C:C,1) ※３行目のセルの数式です．下の行へは数式のコピーを行ってください．
・G3：=SUMIFS(D:D,B:B,F3)
・H3：=COUNTIFS(B:B,F3)
・I3：=G3-(H3*(H3+1))/2
入力式と計算手順について解説します．
① データの入力【B列】【C列】
群（クラス）と値（点数）を各１列にデータを入力します．
② 順位を求める【D列】
値を順位データに変換します．
順位データはRANK.AVG関数を用いて計算します．RANK.AVG関数の引数は以下になります．
RANK.AVG(“順位に変換する値”,”順位の対象となるデータ群（列）”,0)
※ 例題では値が小さいほど順位が高くなるように計算しています．
③ 各群の合計順位を求める【G3】【G4】
検定統計量の計算に必要な各群の合計値（順位和）を計算します．
特定の列の値ごとに合計値を計算するために，SUMIFS関数を用います．SUMIFS関数の引数は以下になります．
SUMIFS(“合計する値の範囲（列）”,”合計するか判定する値の範囲（列）”,”判定する値の範囲と一致させる値”)
④ サンプルサイズを求める【H3】【H4】
各群のサンプルサイズ（データ数）を求めます．COUNTIFS関数を用いて，「B列」に”A”と”B”がいくつあるかカウントします．
⑤ 検定統計量Uを求める
2群に対して以下の式で求めた値のうち小さい方が検定統計量Uになります．
Riは各群の順位和，niはサンプルサイズになります．
例題では，56.5と43.5という値が計算できたので検定統計量U＝43.5になります．
検定表から限界値の求め方
限界値の求め方について説明します．
例題では有意水準α＝0.05であったので，両側5％の検定表を見ます．以下は検定表の一部抜粋です．
Aクラスのサンプルサイズは10であったのでn1=10となります．Bクラスのサンプルサイズも10であったのでn2＝10となります．それぞれの行・列に一致する値である23が限界値となります．
※ サンプルサイズが等しくない場合は，サンプルサイズが小さい方をn1とします．
検定統計量が43.5であったため，検定統計量\(\geq\)限界値となり「2つのクラスの点数に差があるとは言えない」といった結論になります．
補足① マンホイットニー検定表
マンホイットニー検定表は以下になります．
補足② 効果量の求め方（Excel版）
仮説検定の結果として重要な効果量の求め方について，Excelを用いて解説します．
ノンパラメトリック検定の効果量rは，以下の式で求めることができます．
効果量と検定力分析入門 水本・竹内(2010)
※ 効果量には様々な計算方法があるため，論文などでは引用元もしくは計算式を示す必要があります．
Zは検定統計量を標準化（Z変換）した値，Nはサンプルサイズになります．マンホイットニーのU検定のU検定統計量Uは以下の式で標準化することができます．（詳しくは大標本の場合の計算手順で解説しています．）
μUはU値の平均，σUはU値の標準偏差になります．Excelでは以下のように計算することができます．
・G7セル：=H3*H4/2
・G8セル：=SQRT(H3*H4*(H3+H4+1)/12)
・G9セル：=ABS((G6-G7))/G8
※ より正確に標準偏差を求める際は，大標本の計算手順と同様に同順位の補正を行います．
・G10セル：=G9/SQRT(H3+H4)
効果量rの値の目安としては次のようになります．
【効果量rの目安】 小：0.1 中：0.3 大：0.5
例題において効果量は小さいため，「2つのクラスの点数にはそれほど差がない」と言うことができます．
補足③ サンプルサイズが大きい場合
小標本の（＝サンプルサイズが小さい）データに対して行うマンホイットニーのU検定を紹介しました．大標本のデータに対しては検定統計量Uの正規化を行い，ｚ検定します．
サンプルサイズが小さい場合の目安としては，両群のサンプルサイズがともに20以下，もしくは片方が7以下の場合です．
例えば，片方のデータの個数が21だった場合は，正規化近似を使ったマンホイットニーのU検定（ウィルコクソンの順位和検定）を行ってください．
大標本に対して行なうマンホイットニーのU検定の具体的な手順については，下記ページで解説しています．
補足④ データの前提条件
補足③に加えて，用いるデータの前提条件を解説します．
① ノンパラメトリックなデータ
マンホイットニーのU検定は，ノンパラメトリックな（＝正規分布でない）データに対して行います．用いるデータが正規分布と仮定できる場合は，マンホイットニーのU検定を行うことも可能ですが，多くの場合で対応のないｔ検定を行います．（検定力がｔ検定に比べて95％であるため，ｔ検定を用いることが多いです．）
② 順序尺度
名義尺度のデータに対しては用いることができません．名義尺度はデータの大小に意味が無い，つまり順位和を求めることができないことから明らかです．名義尺度のデータの差や関連性を分析する場合は，クロス集計表を用います．
③ 対応のないデータ
比較する2つのグループは対応のない場合である（異なる個体のデータ）である必要があります．対応のある場合は，ウィルコクソンの符号順位検定を行います．
④ 等分散性があるデータ
比較する2つのデータの分布（特に分散）が異なる場合，マンホイットニーのU検定は正確に検定することができません．分布が等しくない場合，ブルンナー・ムンチェル検定を行います．
